Question

选考题部分
（1）（选修4-4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）
在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ=

π

4

(ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．
（2）（选修4-5 不等式证明选讲）（本小题满分7分）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求证：

a

+

b

+

c

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

Answer 1

分析：（1）（I）根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程
（II）写出直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，则有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，因为|BC|²=|AB|•|AC|，代入可求a的值；
（2）（Ⅰ）由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)，代入a+b+c=3，即可得到结论；
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，a+b+c=3得2

ab

+c≤3，根据c=ab，可得2

c

+c≤3，从而可求c的最大值1．

解答：选考题部分
（1）参数方程与极坐标
解：（Ⅰ）∵曲线L：ρsin²θ=2acosθ，∴ρ²sin²θ=2aρcosθ，∴y²=2ax，
∵点A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）
∴A（-2，-4）
∵直线l平行于θ=

π

4

(ρ∈R)
∴直线L的方程为y=x-2（3分）
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
则有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)
因为|BC|²=|AB|•|AC|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1•t2=t1•t2
解得 a=1（7分）
（2）（Ⅰ）由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)
∵a+b+c=3，
∴(

a

+

b

+

c

)2≤9
∴

a

+

b

+

c

≤3，当且仅当a=b=c=1，取等号
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，a+b+c=3得2

ab

+c≤3
若c=ab，则2

c

+c≤3，即(

c

+3)(

c

-1)≤0
∴

c

≤1，∴c≤1，当且仅当a=b=1时，c有最大值1．

点评：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线与曲线的位置关系的应用，考查柯西不等式的运用，解题的关键是要熟练应用极坐标与直角坐标的互化．