Question

一个正四棱锥一个侧面面积与一个对角面面积相等，则侧面与底面所成二面角为（　　）

• A．30°
• B．45°
• C．60°
• D．arccos

  1

  3

Answer 1

分析：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，高为h，用a，h表示出对角面的面积、侧面面积，作出侧面与底面所成锐二面角的平面角，求解即可．

解答：解：设正四棱锥V-ABCD的底面边长为a，高为VO=h，斜高为VE，
如图，∠VEO为侧面与底面所成锐二面角的平面角．
对角面面积S_△VAC=

1

2

×AC×VO=

1

2

×

2

a×h=

2

2

ah
侧面面积S_△VBC=

1

2

BC×VE=

1

2

×a×

h2+ a2 4

，
∵对角面的面积与侧面面积相等，
∴

2

2

ah=

1

2

a•

h2+ a2 4

，
化简整理得h=

1

2

a，
tan∠VEO=

h

a 2

=1，
∴∠VEO=45°，
故选B．

点评：本题考查正四棱锥的定义、性质，空间角的求解，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．