Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2．
（1）证明：面BDD₁ B₁⊥面ACD₁；
（2）若E是BC₁的中点，P是AC的中点，F是A₁C₁上的点，C₁F=mFA₁，试求m的值，使得EF∥D₁P．

Answer 1

分析：（1）利用四边形ABCD是正方形可证AC⊥DB，再证AC⊥面BDD₁B₁，然后利用线面垂直证明面面垂直；
（2）A₁C₁与B₁D₁的交点为Q，连BQ，根据D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，则必有EF∥BQ，求得m的值．

解答：解：（1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，
故四边形ABCD是正方形，AC⊥DB，
又∵D₁D⊥面ABCD，AC⊆面ABCD
∴D₁D⊥AC，又D₁D∩DB=D
∴AC⊥面BDD₁B₁
∵AC?面AD₁C
∴平面BDB₁D₁⊥平面ACD₁          
（2）：记A₁C₁与B₁D₁的交点为Q，连BQ，
∵P是AC的中点，Q为D₁B₁的中点，∴PB∥D₁Q且PB=D₁Q，即四边形PBQD₁为平行四边形，
∴D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，则必有EF∥BQ
在△QBC₁中，E是BC₁的中点，F是QC₁上的点，
∴F是QC₁的中点，C₁F=

1

2

C₁Q=

1

4

C₁A₁，即C₁F=

1

3

FA₁，
故所求m的值是

1

3

．

点评：本题考查面面垂直的判定及线线垂直的判定，考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力．