Question

己知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点T（m，4）到其焦点的距离为．
（I）求p与m的值；
（II）如图，过点M（0，1）作两条直线l₁，l₂，l_l与抛物线交于点A，B，l₂与抛物线交于点E，F，且直线AE，BF交于点P，直线AF，BE交于点Q，求证：是定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由抛物线方程得其准线方程：y=-
根据抛物线定义，点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，
即4+=，解得p=
∴抛物线方程为：x²=y，
将A（m，4）代入抛物线方程可得m²=4，解得m=±2
（II）证明：直线l₁的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，消去y可得x²-kx-1=0
设A（x₁，），B（x₂，），∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
设E，F，则可得x₃x₄=-1
直线AE的斜率是k_AE=x₁+x₃，方程为y=（x₁+x₃）x-x₁x₃
同理直线BF的方程为y=（x₂+x₄）x-x₂x₄
设P（m₁，n₁），则，=-1
同理可得Q（，-1）
∴=（，-2），=（，-2）
∴==-1+4=3为定值．
分析：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程，进而根据抛物线定义可知点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，求得p，则抛物线方程可得，把点A代入抛物线方程即可求得m．
（II）设直线l₁的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，进而可得直线AE、BF；AF，BE的方程，从而可得P、Q的坐标，利用向量的数量积公式，即可得证．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．