Question

函数f(x)＝ae^x，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此平行线的距离.

Answer 1

f′(x)＝ae^x，g′(x)＝，y＝f(x)的图象与坐标轴的交点为(0，a)，y＝g(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f′(0)＝g′(a)，即a＝.

又∵a＞0，∴a＝1.

∴f(x)＝e^x，g(x)＝lnx，∴函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：x－y＋1＝0，x－y－1＝0，∴两平行切线间的距离为.

【方法技巧】求曲线的切线方程：

求曲线的切线方程，一般有两种情况：

(1)求曲线y＝f(x)在(x₀，f(x₀))处的切线，此时曲线斜率为f′(x₀)，利用点斜式可得切线方程为y－f(x₀)＝f′(x₀)(x－x₀)；

(2)求曲线y＝f(x)过点P(x₀，y₀)的切线，此时需要设出切点A(x_A，y_A)，表示出切线方程，再把P(x₀，y₀)的坐标代入切线方程，解得x_A，进而写出切线方程.