Question

14．在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：平面EAC⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于F，连接EF，利用三角形的中位线定理证明EF∥PB，再证明PB∥平面AEC；
（2）利用线面垂直的定义得出PA⊥AC，再证明AC⊥平面PAB与平面EAC⊥平面PAB．

解答 证明：（1）如图所示，

连接BD交AC于F，连接EF，
在△DPB中，EF为中位线，
∴EF∥PB；
又PB?平面EAC，EF?平面EAC，
∴PB∥平面AEC；
（2）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC；
又AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB；
又AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PAB．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了逻辑推理与证明能力，是中档题目．