Question

已知函数，设其值域是M，
（1）求函数f（x）的值域M；
（2）若函数g（x）=4^x-2^1+x-m在M内有零点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）设u=8-2x-x²，则由8-2x-x²＞0，可得-4＜x＜2…（2分）
则u=8-2x-x²=9-（x+1）²∈（0，9]，…（4分）
∴y=log₃u∈（-∞，2]，即函数f（x）的值域M=（-∞，2]…（6分）
（2）∵当x∈（-∞，2]时，有t=2^x∈（0，4]，
又4^x-2^1+x=（2^x）²-2•2^x=t²-2t…（8分）
∴函数g（x）=4^x-2^1+x-m在M内有零点等价于关于t的方程：m=t²-2t在（0，4]内有解，…（10分）
而t²-2t=（t-1）²-1∈[-1，8]
∴m∈[-1，8]…（12分）
分析：（1）确定函数的定义域，从而确定真数的范围，即可求得函数的值域；
（2）当x∈（-∞，2]时，有t=2^x∈（0，4]，函数g（x）=4^x-2^1+x-m在M内有零点等价于关于t的方程：m=t²-2t在（0，4]内有解，求出函数的值域，即可求m的取值范围．
点评：本题考查复合函数的值域，考查函数的零点，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题．