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我们用min{S1,S2,…,Sn}和max{S1,S2,…,Sn}分别表示实数S1,S2,…,Sn中的最小者和最大者.

(1)设f(x)=min{sinx,cosx},g(x)=max{sinx,cosx},x∈[0,2π],函数f(x)的值域为A,函数g(x)的值域为B,求A∩B;

(2)数学课上老师提出了下面的问题:设a1,a2,an为实数,x∈R,求函数(x1<x2<xn∈R=的最小值或最大值.为了方便探究,遵循从特殊到一般的原则,老师让学生先解决两个特例:求函数的最值.学生甲得出的结论是:[f(x)]min=min{f(-2),f(-1),f(1)},且f(x)无最大值.学生乙得出的结论是:[g(x)]max=max{g(-1),g(1),g(2)},且g(x)无最小值.请选择两个学生得出的结论中的一个,说明其成立的理由;

(3)试对老师提出的问题进行研究,写出你所得到的结论并加以证明(如果结论是分类的,请选择一种情况加以证明).

答案:
解析:

  (1),∴.  4分

  (2)若选择学生甲的结论,则说明如下,

  ,于是在区间上是减函数,在上是减函数,在上是增函数,在上是增函数.  8分

  所以函数的最小值是,且函数没有最大值.  10分

  若选择学生乙的结论,则说明如下,

  ,于是在区间上是增函数,在上是增函数,在上是减函数,在上是减函数.

  所以函数的最大值是,且函数没有最小值.  10分(3)结论:

  若,则

  若,则

  若,则

  

  (写出每个结论得1分,共3分,证明为5分)

  以第一个结论为例证明如下:

  ∵,∴当时,

  ,是减函数,

  当时,

  ,是增函数

  当时,函数的图像是以点

  为端点的一系列互相连接的折线所组成,

  所以有


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