Question

10．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°AB=AC=2，AA₁=3．
（Ⅰ）过BC的截面交AA₁于P点，若△PBC为等边三角形，求出点P的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，求四棱锥P-BCC₁B₁与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理求解三角形的边长，推出P的位置．
（Ⅱ）求出四棱锥P-BCC₁B₁与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，即可得到比值．

解答 解：（Ⅰ）由题意$PC=PB=2\sqrt{2}$，（2分）
在三棱柱中，由AA₁⊥平面ABC，且AB=AC=2
可得：PA=2，（4分）
故点P的位置为AA₁的三等分点，且靠近A₁处．              （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{2}×2×2×3=6$，（7分）
${V_{P-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$（8分）
${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$，（9分）
所以${V_{P-BC{C_1}{B_1}}}=6-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=4$，
所以所求两个几何体的体积比为$\frac{2}{3}$． （12分）
故答案为：（Ⅰ）点P的位置为AA₁的三等分点，且靠近A₁处；（Ⅱ）体积比为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积的计算，直线与平面垂直的性质的应用，判断计算能力．