Question

【题目】已知函数，.

（1）当为何值时，直线是曲线的切线；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】

（1）先令，求其导数，设切点为，由直线是曲线的切线，得到，用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；

（2）先令，对其求导，分别讨论和两种情况，结合题意，即可得到结果.

（1）令，，

设切点为，则，，则.

令，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以.

（2）令，则，

①当时，，所以函数在上单调递减，

所以，所以满足题意.

②当时，令，得，

所以当时， ，当时，.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（ⅰ）当，即时，在上单调递增，

所以，所以，此时无解.

（ⅱ）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.

所以 .

设 ，则，

所以在上单调递增,

，不满足题意.

（ⅲ）当，即时，在上单调递减，

所以，所以 满足题意.

综上所述：的取值范围为.