Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

6

3

，右焦点F到直线

x

a

+

y

b

=0的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）已知点M，N为椭圆的长轴的两个端点，作不平行于坐标轴的割线AB，若满足∠AFM=∠BFN，求证：割线AB恒经过一定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c

a

=

6

3

，

|bc|

a2+b2

=1，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设割线AB的方程为y=kx+b（k≠0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 6 + y2 2 =1 y=kx+b

，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，由此利用韦达定理结合题设条件能证明割线AB恒过点（3，0）．

解答： （Ⅰ）解：设F（c，0）
由e=

6

3

，得

c

a

=

6

3

，即c=

6

3

a…①
又右焦点到直线

x

a

+

y

b

=0的距离为1，
得

|bc|

a2+b2

=1…②
由①②及a²=b²+c²得a²=6，b²=2，
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1…5分
（Ⅱ）证明：设割线AB的方程为y=kx+b（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 6 + y2 2 =1 y=kx+b

，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
∴x1+x2=-

6kb

1+3k2

，x1x2=

3b2-6

1+3k2

（*） …8分
∵∠AFM=∠BFN，∴k_AF+k_BF=0，
∴

y1

x1-2

+

y2

x2-1

=0，
∴x₁y₂+x₂y₁-2（y₁+y₂）=0，…10分
即x₁（kx₂+b）+x₂（kx₁+b）-2（kx₁+b+kx₂+b）=0，
2kx₁x₂+（b-2k）（x₁+x₂）-4b=0，
将（*）代入上式，2k•

3b2-6

1+3k2

+（b-2k）•

-6kb

1+3k2

-4b=0，
解得b=-3k，
∴割线AB方程为y=kx+b=kx-3k=k（x-3），
即割线AB恒过点（3，0）．…13分．

点评：本题综合考查椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系、直线的斜率，考查运算能力和推理论证能力，较难题．