Question

若{a_n}是各项均不为零的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足

a

2n

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若对一切正整数n，Tn≥λ•(

1

2

)n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）在

a

2n

=S2n-1中，
令n=1，可得a₁²=s₁=a₁，
n=2，可得a₂²=s₃=a₁+a₂+a₃，
∴a₁=1，a₂²=a₁+a₂+a₃，a₁=1，
a₁+a₁+d+a₁+2d=（a₁+d）²，
解得，d=2，
从而a_n=a₁+（n-1）×d=2n-1，…（4分）
bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
于是Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．…（8分）
（Ⅱ）λ≤

n

2n+1

•2n，
令cn=

n

2n+1

•2n，
则cn+1-cn=

n+1

2n+3

•2n+1-

n

2n+1

•2n
=

2n2+3n+2

(2n+1)(2n+3)

•2n＞0，…（12分）
于是{c_n}是单调递增数列，(cn)min=c1=

2

3

，
故λ≤

2

3

．…（14分）