已知在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面，
，
，
分别是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
(1)证明过程详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面平行的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，利用线面平行的判定定理，先找出面内的一条线
，利用平行四边形证明
，从而证明线面平行；第二问，用向量法解题，先建立直角坐标系，求出2个平面的法向量，再求夹角.
试题解析： (1)证明：取
的中点
，连结
.
∴
，且
，
又
，∴
.
又
是
的中点，且
，
∴
，∴四边形
是平行四边形．
∴.
又
平面
，
平面.
∴
平面.(6分)
(2)解：以
为原点，如图建立直角坐标系，则
，
，
， 
，
，
，
．
设平面的法向量为
，
，
．
则
可得
，令
，则
．
易得平面
的法向量可为
，
；
如图，易知二面角
的余弦值等于
，即为. （12分）
考点：1.线面平行的判定定理；2.向量法求二面角.
科目：高中数学 来源：2015届云南省高二上学期期中考试文科数学试卷（解析版） 题型：解答题
如图，已知在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面，
、
分别是
、
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
与平面
所成角为
，且
，求点
到平面
的距离．
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科目：高中数学 来源：2012-2013学年贵州省六高三第一次考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本小题满分12分）如图
，已知在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面，
，
，
是
的中点， 
是线段
上的点．
（I）当是的中点时，求证：
平面
；
（II）要使二面角
的大小为
，试确定点的位置．
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三下学期模拟冲刺考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本小题满分l2分）已知在四棱锥
中，底面
是矩形，且
，
，
平面，
、
分别是线段
、
的中点．
（1）证明：
；
（2）判断并说明
上是否存在点
，使得
∥平面
；
（3）若
与平面所成的角为
，求二面角
的余弦值．
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高考模拟预测卷（三）理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
已知在四棱锥
中，底面
是矩形，且
，
，
平面，
、
分别是线段
、
的中点．
（1）证明：
；
（2）判断并说明
上是否存在点
，使得
∥平面
；
（3）若
与平面所成的角为
，求二面角
的余弦值．
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