Question

已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=

an+1

an

，n∈N*，
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）设c_n=b_nb_n+1，S_n为数列{c_n}的前n项和，求证：S_n≥17n；
（Ⅲ）求证：|b2n-bn|＜

1

64

•

1

17n-2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₂和a₁及题设中递推式求得a₃，进而求得a₄，代入bn=

an+1

an

求得b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）整理a_n+2=4a_n+1+a_n得

an+2

an+1

=4+

an

an+1

，进而求得关于b_n的递推式，进而推断出b_n＞4，且c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17进而推断出S_n=c₁+c₂++c_n≥17n．
（Ⅲ）先看当n=1时把b₁和b₂代入结论成立；在看当n≥2时，把（2）中求得的递推式代入|b_2n-b_n|，进而根据（2）中S_n≥17n的结论推断出|b_2n-b_n|＜

1

64

•

1

17n-2

，进而根据|b_2n-b_n|≤|b_n+1-b_n|+|b_n+2-b_n+1|+…+|b_2n-b_2n-1|使原式得证．

解答：解：（Ⅰ）∵a₂=4，a₃=17，a₄=72，
所以b1=4．b2=

17

4

，b3=

72

17

（Ⅱ）由a_n+2=4a_n+1+a_n
得

an+2

an+1

=4+

an

an+1

即bn+1=4+

1

bn

所以当n≥2时，b_n＞4
于是c₁=b₁，b₂=17，c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17（n≥2）
所以S_n=c₁+c₂++c_n≥17n
（Ⅲ）当n=1时，结论|b2-b1|=

1

4

＜

17

64

成立
当n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+

1

bn

-4-

1

bn-1

|=|

bn-bn-1

bnbn-1

|≤

1

17

|bn-bn-1|≤

1

172

|bn-1-bn-2|≤

1

17n-1

|b2-b1|＜

1

64

•

1

17n-2

(n≥2)
所以|b_2n-b_n|≤|b_n+1-b_n|+|b_n+2-b_n+1|+…+|b_2n-b_2n-1|

1

4

[(

1

17

)n-1+(

1

17

)n+(

1

17

)2n-2]=

1

4

•

( 1 17 )n-1(1- 1 17n )

1- 1 17

＜

1

64

•

1

17n-1

  (n∈N*)

点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式与不等式，函数等知识综合考查是近几年高考的热点，平时的训练应注意知识的综合运用．