Question

已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）要证平面PDC⊥平面PAD，只需证明平面PDC的中心CD，垂直平面PAD内的两条相交直线PA、AD即可；
（Ⅱ）CD的中点为F，连接EF、AF，说明∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角，解三角形求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC边上存在一点G，设BG=x，过点D作DM⊥AG于M．利用S△AGD=

1

2

AG•DM，推出线段DM的长是点D到平面PAG的距离为1．
法二：建立空间直角坐标系，推出

CD

•

AD

=0 ， 

CD

•

AP

=0证明CD⊥平面PAD，然后证明 平面PDC⊥平面PAD；利用cos＜

AE

，

PC

＞=

AE • PC

| AE |•| PC |

求解（Ⅱ）．则G（1，x，0）．利用2S_△ADG=S_矩形ABCD，求出x的值，即可确定存在一点G．

解答：法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．（1分）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．（3分）
又∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）解：设CD的中点为F，连接EF、AF．
∵E是PD中点，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角．（7分）
由PA=AB=1，BC=2，计算得AE=

1

2

PD=

5

2

，EF=

1

2

PC=

6

2

，AF=

17

2

，cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=

5 4 + 6 4 - 17 4

2• 5 2 • 6 2

=-

30

10

，（9分）
∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为

30

10

．（10分）
（Ⅲ）解：假设在BC边上存在点G，使得点D到平面PAG的距离为1．
设BG=x，过点D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，PA∩AG=A．
∴DM⊥平面PAG．
∴线段DM的长是点D到平面PAG的距离，即DM=1．（12分）
又S△AGD=

1

2

AG•DM=

1

2

1+x2

=1，
解得x=

3

＜2．
所以，存在点G且当BG=

3

时，使得点D到平面PAG的距离为1．（14分）
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（1，2，0），
D（0，2，0），E（0，1，），
P（0，0，1）．
∴

CD

=（-1，0，0），

AD

=（0，2，0），

AP

=（0，0，1），

AE

=（0，1，），

PC

=（1，2，-1）．（2分）
（Ⅰ）∵

CD

•

AD

=0，
∴CD⊥AD．
∵

CD

•

AP

=0，
∴CD⊥AP．
又AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（5分）
∵CD?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）
（Ⅱ）∵cos＜

AE

，

PC

＞=

AE • PC

| AE |•| PC |

=

2- 1 2

1+ 1 4 • 6

=

30

10

，（9分）
∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为

30

10

．（10分）
（Ⅲ）假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG=x，则G（1，x，0）．
作DQ⊥AG于Q，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ．
又PA∩AG=A，
∴DQ⊥面PAG．
∴线段DQ的长是点D到平面PAG的距离，即DQ=1．（12分）
∵2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴|

AG

|•|

DQ

|=|

AB

|•|

AD

|=2．
∴|

AG

|=2．
又AG=

x2+1

，
∴x=

3

＜2．
故存在点G，当BG=

3

时，使点D到平面PAG的距离为1．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线所成的角，点到平面的距离，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．