Question

（2012•温州二模）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  10

  2

• B．2
• C．

  5

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：确定抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论．

解答：解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），其准线方程为x=-

p

2

∵准线经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点
∴a=

p

2

∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p，
∴M的横坐标为

3

2

p
代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±

3

p
将M的坐标代入双曲线方程，可得

( 3 2 p)2

( p 2 )2

-

3p2

b2

=1，∴b2=

3

8

p2
∴c2=

p2

4

+

3

8

p2=

5

8

p2
∴c=

10

4

p
∴e=

c

a

=

10

2

故选A．

点评：本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M的坐标是关键．