Question

已知函数，且）．

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若，方程f (x) =2 a x有惟一解时，求的值。

Answer 1

（1）当k是奇数时,f(x)在(0,+)上是增函数 ；当k是偶数时,f(x)在是减函数,在是增函数   （2） 

解析:

(1)由已知得，x＞0且．

当k是奇数时,则,则f(x)在(0,+)上是增函数; ……（2分）

当k是偶数时,则,,　 ……（3分）

所以当x时,, 当x时,，

故当k是偶数时,f(x)在是减函数,在是增函数．……（5分）

（Ⅱ）若，则）

记g (x) = f (x) – 2ax = x ² – 2 a xlnx – 2ax,

     ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……（6分）

令,得，

（舍去）……（7分）

当时，,在是单调递减函数；

当时，,在上是单调递增函数。

当x=x₂时, ,    …………（8分）

有唯一解， 

则，即  ………（9分）

    …………（10分）

设函数，

∵在x>0时, h (x)是增函数，∴h (x) = 0至多有一解。

∵h (1) = 0, ∴方程(*)的解为x ₂ = 1，即，解得。…………（12分）