Question

已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）证明：抛物线在点处的切线与直线平行；

（3）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解（1）将化为，则焦点坐标是，准线方程是……2分

（2）如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，.…………4分

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，.…………5分

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．

即．                                           .…………8分

（3）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．                                       .…………9分

由（Ⅰ）知

．

轴，．.…………11分

又

       ．.…………13分

，解得．

即存在，使．.…………14分

或设，由（2）有，

即                 .…………10分

         

         

        

即解之得：，故 .…………14分