Question

已知定点P（2，4）和圆O：x²+y²=4．
（Ⅰ）求过点P与圆O相切的切线方程．
（Ⅱ）直线l经过点P且与圆相交于A，B两点，若|AB|=2

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由于圆O：x²+y²=4的圆心为（ 0，0），半径等于2，显然有一条切线为x=2．当切线的斜率存在时，用点斜式设出直线方程，根据圆心到切线的距离d=半径r，求出斜率的值，
即可求得圆的切线方程．
（2）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式设出直线方程，根据圆心到切线的距离d=

r2-( 2 )2

=

2

，求出斜率的值，即可求得直线l的方程．

解答：解：（1）由于圆O：x²+y²=4的圆心为（ 0，0），半径等于2，显然有一条切线为x=2．
当切线的斜率存在时，∵点P（2，4）不在圆O上，
∴切线PT的直线方程可设为y=k（x-2）+4，
根据圆心到切线的距离d=半径r，
∴

|-2k+4|

1+k2

=2，解得 k=

3

4

，所以圆的切线方程为 y=

3

4

(x-2)+4，即3x-4y+10=0，
综上可得，圆的切线方程为3x-4y+10=0 或x=2．
（2）由题意可得，直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y=k（x-2）+4，即 kx-y+4-2k=0．
由弦长公式可得圆心到直线l的距离为 d=

r2-( 2 )2

=

2

，即

|0-0+4-2k|

k2+1

=

2

，解得 k=1，或 k=7．
故直线l的方程为 y=x+2，或y=7x-10，即 x-y+2=0，或 7x-y-10=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．