Question

设a为实数，函数f(x)=x³-x²-x+a.

(1)求f(x)的极值;

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.

Answer 1

解：(1)f′(x)=3x²-2x-1.

    若f′(x)=0,则x=-或x=1.

    当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表.

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

    所以f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1.

(2)函数f(x)=x³-x²-x+a=(x-1)²(x+1)+a-1.

    由此可知x取足够大的正数时有f(x)＞0,

x取足够小的负数时有f(x)＜0,

    所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.

    结合f(x)的单调性可知,

    当f(x)的极大值+a＜0,即a∈(-∞,-)时,它的极小值也小于0,

    因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上;

    当f(x)的极小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)时,它的极大值也大于0，

    因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上.

    所以当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.