Question

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；

（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．

Answer 1

（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

解：（1）由椭圆的方程知，

∴点，，

设的坐标为，                      ………………1分

∵FC是的直径，

∴

∵ 

∴                      --------------------2分

∴，  --------------------------------------3分

解得 --------------------------------------5分

∴椭圆的离心率--------------------6分

（2）∵过点F,B,C三点，

∴圆心P既在FC的垂直平分线上，

也在BC的垂直平分线上，

FC的垂直平分线方程为--------①

              -----------7分

∵BC的中点为，

∴BC的垂直平分线方程为-----②        

---------9分

由①②得，

即                   -----11分

∵P在直线上，

∴ 

∵ 

∴                           ------------------13分

由得

∴椭圆的方程为.            -------------------14分