Question

（2010•怀柔区模拟）已知函数f(x)=-cosx+cos(

π

2

-x)，x∈R
（1）求f（x）的周期；
（2）若x∈(0，

π

4

)，且sin2x=

1

3

，求f（x）的值．

Answer 1

分析：把f（x）解析式中的第二项利用诱导公式化简，提取

2

后，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）由化简后的函数解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的周期；
（2）由x的范围，利用正弦及余弦函数的图象与性质可判断出sinx与cosx的大小，然后利用完全平方公式化简（cosx-sinx）²，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，把sin2x的值代入可求出值，开方可得cosx-sinx的值，再利用完全平方公式化简（cosx+sinx）²，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，把sin2x的值代入可求出值，开方可得cosx+sinx的值，两者联立可得sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入化简后的f（x）解析式可求出f（x）的值．

解答：解：函数f（x）=-cosx+cos（

π

2

-x）
=-cosx+sinx=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
（1）∵ω=1，∴f（x）的周期T=

2π

ω

=2π；
（2）因为x∈(0，

π

4

)，所以cosx＞sinx，且sin2x=2sinxcosx=

1

3

，
又（cosx-sinx）²=cos²x-2sinxcosx+sin²x=1-sin2x=1-

1

3

=

2

3

，
所以cosx-sinx=

6

3

，
则f（x）=-cosx+cos（

π

2

-x）=-cosx+sinx=-

6

3

．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的化简求值，涉及的知识有诱导公式，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，在求函数周期时，应先根据三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数值，然后找出ω的值可求出周期，第二问灵活运用同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦函数公式求出sinx和cosx的值是解题的关键，同时注意根据x的范围判断得出cosx-sinx的符号．