Question

下列四个命题中，真命题的个数是（　　）  
（1）如果a＞0且a≠1，那么log_af（x）=log_ag（x）的充要条件是a^f（x）=a^g（x）
（2）如果非零向量

a

，

b

，

c

满足：|

a

|=|

b

|=|

c

|，

a

+

b

=

c

，则

a

，

b

夹角为60°
（3）若直线a平行于平面α内的一条直线b，则a∥α
（4）无穷等比数列{a_n}的首项a1=

1

2

，公比q=

1

2

，设Tn=a12+a32+…+a2n-12，则

lim

n→+∞

Tn=

1

3

．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：逐个判断：（1）注意对数的真数为正，故不能相互推出；（2）由向量的知识可求得夹角为120°；（3）由线面平行的判定定理可得；（4）为数列的极限问题，通过求和公式求到和，然后求极限可得结果．

解答：解：（1）由log_af（x）=log_ag（x）可推出a^f（x）=a^g（x），但由a^f（x）=a^g（x）不能推出log_af（x）=log_ag（x），
比如当f（x）=g（x）为负值时会使对数无意义，故为假命题；
（2）设向量

a

，

b

的夹角为θ，由

a

+

b

=

c

平方可得，|

a

|2+|

b

|2+2|

a

||

b

|cosθ=|

c

|2，
解得cosθ=-

1

2

，θ=120°，故为假命题；
（3）由线面平行的判定定理可知：平面外的直线a平行于平面α内的一条直线b，才有a∥α，故为假命题；
（4）无穷等比数列{a_n}的首项a1=

1

2

，公比q=

1

2

，
则Tn=a12+a32+…+a2n-12是首项为

1

4

，公比为

1

16

的等比数列的前n项和，
故Tn=a12+a32+…+a2n-12=

1 4 (1- 1 16n )

1- 1 16

=

4

15

(1-

1

16n

)，可得

lim

n→+∞

Tn=

4

15

，故为假命题．
故选A．

点评：本题为命题真假的判断，涉及向量，指数函数和对数函数，数列的极限等问题，属基础题．