Question

已知△ABC中，2tanA=1，3tanB=1，且最长边的长度为1，求角C的大小和最短边的长度．

Answer 1

分析：先由tanA，tanB利用两角和公式求得tan（A+B），再根据C=180°-A-B，求得tanC，进而得到C=

3π

4

，推断C为三角形中的最大角，进而根据tanA＞tanB推断B为最小角．根据3tanB=1求得sinB，再由正弦定理求得b．

解答：解：△ABC中，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∵tanA＞tanB＞0，
∴0＜B＜A＜

π

2

．
∴tanC=tan（π-A-B）=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，
而0＜C＜π，
∴C=

3π

4

．
∴最大角为C，最小角为B，它所对的边b为最短边，
∵tanB=

sinB

cosB

=

sinB

1-sin2B

=

1

3

，
∴sinB=

10

10

，
由正弦定理得

b

sinB

=

10

10

，
∴b=

sinB

2 2

=

5

5

，
故角C为

3π

4

，最短边长度为

5

5

．

点评：本题主要考查了正弦定理和同角三角函数的关系在解三角形中的应用．解此题的关键是判断出最大角和最小角．