Question

11．已知F是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，F在线段AB上，O为坐标原点，若|OB|=2|OA|，则双曲线C的离心率是$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，OA⊥OB，|OB|=2|OA|，可得∠AOB=60°，利用$\frac{b}{a}$=tan∠AOF=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，OA⊥aB，|OB|=2|OA|，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴$\frac{b}{a}$=tan∠AOF=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查特殊角的三角函数，属于中档题．