Question

在△ABC中，C-A=

π

3

，cosB=

11

14

．
（1）求sinA的值；
（2）设AB=6

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由三角形的内角和公式可得 B=

2π

3

-2A，即A=

π

3

-

B

2

，由半角公式求得sin

B

2

和cos

B

2

的值，由
sinA=sin（

π

3

-

B

2

）利用两角差的正弦公式求得结果．
（2）利用同角三角函数的基本关系求出cosA和sinB 的值，利用两角和的正弦公式求出sinC=sin（A+

π

3

）
的值，由正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

求出BC的值，再根据 S_△ABC=

1

2

AB•BC•sinB，运算求得结果．

解答：解：（1）由三角形的内角和公式可得 B=π-A-C=π-A-（A+

π

3

）=

2π

3

-2A，故 A=

π

3

-

B

2

．
又 cosB=

11

14

，∴sin

B

2

=

1-cosB 2

=

21

14

，cos

B

2

=

1+cosB 2

=

5 7

14

．
故 sinA=sin（

π

3

-

B

2

）=sin

π

3

 cos

B

2

-cos

π

3

sin

B

2

=

21

7

．
（2）由于sinA=

21

7

，C-A=

π

3

，∴A是锐角，可得cosA=

2 7

7

．
由cosB=

11

14

，可得sinB=

5 3

14

．
故sinC=sin（A+

π

3

）=sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

3 21

14

．
由正弦定理可得

AB

sinC

=

BC

sinA

，即 

6 7

3 21 14

=

BC

21 7

，解得 BC=4

7

．
故 S_△ABC=

1

2

 AB•BC•sinB=

1

2

×6

7

×4

7

×

5 3

14

=30

3

．

点评：本题主要考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．