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    设椭圆的左焦点为，直线与轴交于点，过点且倾斜角为30°的直线交椭圆于两点．

    （Ⅰ）求直线和椭圆的方程；

    （Ⅱ）求证：点在以线段为直径的圆上；

    （Ⅲ）在直线上有两个不重合的动点，以为直径且过点的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

     

    【答案】

    （1）

    （2）（2）把直线与椭圆方程联立，消去y，设出A，B的坐标，则可求得x1+x2=-3x1x2，进而分别表示出F1A和AF1B斜率，进而求得kF1A?kF1B的值

    （3）

    【解析】

    试题分析：解: (Ⅰ)可知直线              2分

    由,,解得,

    所以，椭圆的方程为．             4分

    (Ⅱ)联立方程组  整理得:,

    设,则,

    因为,所以

    所以点在以线段为直径的圆上．            10分

    (3)面积最小的圆的半径长应是点 到直线的距离．  11分

    设为 即面积最小的圆的半径长为   13分

    考点：直线与圆锥曲线

    点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

     

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年浙江省高三5月模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂

    直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

    （3）当P不在轴上时，在曲线上是否存在两个不同点C、D关于对称，若存在，

    求出的斜率范围，若不存在，说明理由。

     

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    科目：高中数学 来源：河北省高三下学期第二次考试数学（文） 题型：解答题

    （本题满分12分）已知椭圆的离心率为，

    直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直

    线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；

    （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积

    的最小值．

     

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    科目：高中数学 来源：河北省高三下学期第二次考试数学（文） 题型：解答题

    （本题满分12分）已知椭圆的离心率为，

    直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直

    线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；

    （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积

    的最小值．

     

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    科目：高中数学 来源：2012届辽宁省营口市高二上学期期末教学质量检测理科数学 题型：解答题

    设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直

       线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为， 到直线的距离为；

    （1）求椭圆的焦距；

    （2）如果,求椭圆的方程.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    ( 本小题满分12分)

           设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直

       线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为；

    （1）求椭圆的焦距；

    （2）如果,求椭圆的方程.

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