Question

设函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0；再令y=-x⇒f（-x）=-f（x）从而可证f（x）是奇函数；
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，利用单调性的定义判断函数f（x）的单调性，再求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）证明：令x=y=0，知f（0）=0；
再令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f[x₂+（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）为减函数．
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
f（-3）=-f（3）=6．
∴f（x）_max=f（-3）=6，f（x）_min=f（3）=-6．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，突出考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，属于中档题．