Question

6．已知函数f（x）=log₂x的定义域是[2，8]．
（1）设g（x）=f（2x）+f（x+2）．求g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数y=f²（x）+f（x²）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的定义求解即可；
（2）利用换元法进行求解．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂^x，
∴g（x）=f（2x）+f（x+2）=${log_2}^{2x}+{log_2}^{（x+2）}={log_2}^{（2{x^2}+4x）}$，（3'）
因为f（x）的定义域是[2，8]，所以$\left\{{\begin{array}{l}{2≤2x≤8}\\{2≤x+2≤8}\end{array}}\right.$，解之得1≤x≤4．
于是 g（x）的定义域为{x|1≤x≤4}．     （6'）
（2）y=（log${{\;}_{2}}^{x}）^{2}$²+$lo{{g}_{2}}^{{x}^{2}}$，
=（log${{\;}_{2}}^{x}）^{2}$²+2log₂x，
令t=$lo{{g}_{2}}^{x}$，x∈[1，$\frac{3}{2}$]，
则y=t²+2t=（t+1）²-1．
当t=1时，y_min=3；
当t=$\frac{3}{2}$时，y_max=$\frac{21}{4}$．

点评 本题主要考查函数的定义域、单调性和函数的值域的求法，属于中档题．