Question

（2013•资阳模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（含边界）的动点，设向量

AP

=m

AB

+n

AF

（m，n为实数），则m+n的取值范围是（　　）

A．（1，3]

B．[2，4]

C．[3，4]

D．[1，5]

Answer 1

分析：如图所示，连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点．分类讨论：利用向量的加法和共线定理可得：①

AP

=

AD

时，m+n=4．②

AP

=

AM

及点P位于线段CE上时，m+n=3．③除了①、②的情况满足3＜m+n＜4，．综上可得：3≤m+n≤4．

解答：解：如图所示，连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点．
①

AD

=

AB

+

BC

+

CD

，

CD

=

AF

，

BC

=

1

2

AD

，∴

AD

=

AB

+

1

2

AD

+

AF

，化为

AD

=2

AB

+2

AF

，
与向量

AP

=m

AB

+n

AF

（m，n为实数）比较可得：m+n=4．
②

AM

=

AB

+

BC

+

CM

=

AF

+

FE

+

EM

，又

BC

=

FE

，

CM

+

EM

=

0

．
∴2

AM

=

AB

+

AF

+2

BC

，又

BC

=

2

3

AM

，
∴

2

3

AM

=

AB

+

AF

，即

AM

=

3

2

AB

+

3

2

AF

，∴此时m+n=3．
③当点P位于线段CE上时，记作Q，则

AQ

=

AP

=

AM

+

MP

=

AM

+λ

EC

=

AM

+λ

FB

=

AM

+λ(

AB

-

AF

)，此时m+n=3．
④当点P不在线段CE上时，

AP

=

AQ

+

QP

=

AQ

+λ

AQ

=(1+λ)

AQ

（

4

3

≥1+λ＞1）．
∴3＜（1+λ）（m+n）≤4．
综上可得：3≤m+n≤4．
故选C．

点评：本题考查了正六边形的性质、向量的加法和共线定理、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．