Question

已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，并且当x＞0时，f（x）＞1
（1）求证：f（x）为R上的单调递增函数；
（2）若f（4）=5，求解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义，结合抽象函数之间的关系进行证明．
（2）利用条件f（4）=5，求f（2），利用函数的单调性解不等式．

解答：解：（1）在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）=f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+1=1-f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
故f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）为R上的单调递增函数．
（2）f（4）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3，
则不等式f（3m²-m-2）＜3，等价为f（3m²-m-2）＜f（2）．
由（1）可知f（x）为R上的单调递增函数．
所以3m²-m-2＜2，即3m²-m-4＜0
解得：-1＜m＜

4

3

．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，以及利用定义法证明函数的单调性，综合性较强．