Question

已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被曲线C所截得的弦AB恰好被点N平分？如果存在，求出直线m的方程；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；当x＜0时，y=0也满足题意；
（2）由题意，直线m的斜率存在，设方程为y-2=k（x-4），与抛物线方程联立，消去x，利用（4，2）是中点，求出斜率，验证△，即可得出结论．

解答：解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y²=4x（x≥0）；
当x＜0时，y=0．
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意，直线m的斜率存在，设方程为y-2=k（x-4），与抛物线方程联立，消去x可得ky²-4y-8+4k=0①，
∴2=

y1+y2

2

=

2

k

，
∴k=1，此时①中△恒大于0，
∴直线m存在，其方程为y=x-2．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，利用韦达定理解题．