Question

某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为α,tanα=.试问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大?(不计此人的身高)

Answer 1

解：如下图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0)、B(0,220)、C(0,300).

    直线l的方程为y=(x-200)tanα,则y=.

    设点P的坐标为(x,y),则P(x,)(x＞200).

    由经过两点的直线的斜率公式

k_PC==,

k_PB==.

    由直线PC到直线PB的角的公式得tan∠BPC==

=(x＞200).

    要使tan∠BPC达到最大,只需x+-288达到最小,由均值不等式

x+-288≥2-288.

    当且仅当x=时上式取得等号.故当x=320时,tan∠BPC最大.这时,点P的纵坐标y为y==60.

    由此实际问题知,0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时,∠BPC最大.

    故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角∠BPC最大.