Question

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F₁、F₂是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，设a₁是椭圆的长半轴，a₁是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出结果．
解答：解：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
设a₁是椭圆的实半轴，a₂是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂==1，
解得e₂=．
故答案为：．
点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“黄金搭档”的含义．