Question

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层EFGH-E₁F₁G₁H₁转动α，如图乙，设α的对边长为x

（1）试用α表示x；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）把魔方中间的一层EFGH-E₁F₁G₁H₁转动α，根据正方体的边长为3，可得边长被截得的三段长分别为x，

x

sinα

，

x

tanα

，进而可用α表示x；
（2）魔方增加的表面积为S=8-

x2

tanα

，结合（1）可得S=

72sinα•cosα

(1+sinα+cosα)2

，α∈（0，

π

2

），令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），t∈（1，

2

]，利用分析法可得函数的最值．

解答：解：（1）由题意得x+

x

sinα

+

x

tanα

=3，
解得x=

3

1+ 1 sinα + 1 tanα

=

3sinα

1+sinα+cosα

，α∈（0，

π

2

），（6分）
（2）魔方增加的表面积为S=8×

x2

tanα

，
由（1）得S=

72sinα•cosα

(1+sinα+cosα)2

，α∈（0，

π

2

），（10分）
令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），t∈（1，

2

]，
则S=

36(t2-1)

(1+t)2

=36（1-

2

t+1

）≤36×（1-

2

2 +1

）=108-72

2

（当且仅当t=

2

，即α=

π

4

时等号成立），
答：当α=

π

4

时，魔方增加的表面积最大为108-72

2

．（12分）

点评：本题考查的知识点是求函数的解析式，函数的最值，其中根据边长被截得的三段长分别为x，

x

sinα

，

x

tanα

，用α表示x是解答的关键．