Question

15．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x+1}-\frac{{2{f^'}（1）}}{x}$．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：当0＜x＜1时，（x-1）f（x）＜lnx．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），切线切线方程即可；
（2）问题等价于：$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＞0$，令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
因为$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{2f'（1）}{x^2}$，…（2分）
所以$f'（1）=\frac{1}{2}+2f'（1）$，即$f'（1）=-\frac{1}{2}$，…（3分）
所以$f（x）=\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x^2}$，…（4分）
令x=1，得f（1）=1，
所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
$y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-3=0．…（6分）
（2）因为0＜x＜1，所以不等式等价于：$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＞0$，…（7分）
因为$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，
令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，则$g'（x）=\frac{{-{x^2}+2x-1}}{x^2}=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}$，…（9分）
因为0＜x＜1，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上为减函数．
又因为g（1）=0，所以，当0＜x＜1时，g（x）＞g（1）=0，
此时，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$，即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＞0$，…（11分）
所以，当0＜x＜1时，（x-1）•f（x）＜lnx．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．