给定数列a1，a2，…，an．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi．
（Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）设a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，dn-1是等比数列；
（Ⅲ）设d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，an-1是等差数列．
【答案】
分析：（Ⅰ）当i=1时，A
1=3，B
1=1，从而可求得d
1，同理可求得d
2，d
3的值；
（Ⅱ）依题意，可知a
n=a
1q
n-1（a
1＞0，q＞1），由d
k=a
k-a
k+1⇒d
k-1=a
k-1-a
k（k≥2），从而可证
（k≥2）为定值．
（Ⅲ）依题意，0＜d
1＜d
2＜…＜d
n-1，可用反证法证明a
1，a
2，…，a
n-1是单调递增数列；再证明a
m为数列{a
n}中的最小项，从而可求得是a
k=d
k+a
m，问题得证．
解答：解：（Ⅰ）当i=1时，A
1=3，B
1=1，故d
1=A
1-B
1=2，同理可求d
2=3，d
3=6；
（Ⅱ）由a
1，a
2，…，a
n-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a
1＞0，则{a
n}的通项为：a
n=a
1q
n-1，且为单调递增的数列．
于是当k=1，2，…n-1时，d
k=A
k-B
k=a
k-a
k+1，
进而当k=2，3，…n-1时，
=
=
=q为定值．
∴d
1，d
2，…，d
n-1是等比数列；
（Ⅲ）若d
1，d
2，…，d
n-1是公差大于0的等差数列，则0＜d
1＜d
2＜…＜d
n-1．
先证明a
1，a
2，…，a
n-1是单调递增数列．
否则设a
k是第一个使得a
k≤a
k-1成立的项，则A
k-1=A
k，B
k-1≤B
k，因此d
k-1=A
k-1-B
k-1≥A
k-B
k=d
k，矛盾．
因此a
1，a
2，…，a
n-1是单调递增数列…①
再证明a
m为数列{a
n}中的最小项，否则设a
k＜a
m（k=1，2，…n-1），显然k≠1，否则d
1=A
1-B
1=a
1-B
1≤a
1-a
1=0，与d
1＞0矛盾；
因而k≥2，此时考虑d
k-1=A
k-1-B
k-1=a
k-1-a
k＜0，矛盾．
因此a
m为数列{a
n}中的最小项，…②
综合①②d
k=A
k-B
k=a
k-a
m（k=1，2，…n-1），于是a
k=d
k+a
m，也即a
1，a
2，…，a
n-1是等差数列．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．
