Question

1．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．
（1）试判断函数$f（x）=\frac{1}{x}$是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；
（2）证明：函数f（x）=2^x+x²为“可分拆函数”；
（3）设函数$f（x）=lg\frac{a}{{{2^x}+1}}$为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}+\frac{1}{1}$，即$x_0^2+{x_0}+1=0$，判断此函数是否有解即可得出．
（2）令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1），则h（x）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1），又h（0）=-1，h（1）=2，故h（0）•h（1）＜0，所以h（x）=0在上有实数解x₀，也即存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，即可证明．
（3）因为函数$f（x）=lg\frac{a}{{{2^x}+1}}$为“可分拆函数”，所以存在实数x₀，使得$lg\frac{a}{{{2^{{x_0}+1}}+1}}$=$lg\frac{a}{{{2^{x_0}}+1}}$+$lg\frac{a}{3}$，$\frac{a}{{{2^{{x_0}+1}}+1}}$=$\frac{a}{{{2^{x_0}}+1}}$×$\frac{a}{3}$且a＞0，所以，$a=\frac{{3（{2^{x_0}}+1）}}{{{2^{{x_0}+1}}+1}}$=$\frac{{3（{2^{x_0}}+1）}}{{2×{2^{x_0}}+1}}$，换元利用单调性即可得出．

解答 解：（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}+\frac{1}{1}$，…（1分）
即$x_0^2+{x_0}+1=0$，而此方程的判别式△=1-4=-3＜0，方程无实数解，
所以，f（x）不是“可分拆函数”．                  …（3分）
（2）证明：令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1），
则h（x）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1），
又h（0）=-1，h（1）=2，故h（0）•h（1）＜0，
所以h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=0在上有实数解x₀，
也即存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，
所以，f（x）=2^x+x²是“可分拆函数”．         …（7分）
（3）因为函数$f（x）=lg\frac{a}{{{2^x}+1}}$为“可分拆函数”，
所以存在实数x₀，使得$lg\frac{a}{{{2^{{x_0}+1}}+1}}$=$lg\frac{a}{{{2^{x_0}}+1}}$+$lg\frac{a}{3}$，$\frac{a}{{{2^{{x_0}+1}}+1}}$=$\frac{a}{{{2^{x_0}}+1}}$×$\frac{a}{3}$且a＞0，
所以，$a=\frac{{3（{2^{x_0}}+1）}}{{{2^{{x_0}+1}}+1}}$=$\frac{{3（{2^{x_0}}+1）}}{{2×{2^{x_0}}+1}}$，
令$t={2^{x_0}}$，则t＞0，所以，a=$\frac{3（t+1）}{2t+1}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2（2t+1）}$，
由t＞0得$\frac{3}{2}＜a＜3$，即a的取值范围是$（{\frac{3}{2}，3}）$．     …（12分）

点评 本题考查了抽象函数的单调性、不等式与方程的解法、新定义、函数零点判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．