Question

.已知数列{a_n}满足：a_n+1=，
（Ⅰ）求a₂•a₃；
（Ⅱ）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}前100项中所有奇数项的和．

Answer 1

（Ⅰ）解：a₁=1，n=1时，a₂=a₁+1=；n=2时，a₃=a₂-4=；
∴a₂•a₃=-
（Ⅱ）证明：b₁=a₂-2=-，且===
∴数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列；
∴=-
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得
∵当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49）
∴数列{a_n}前100项中所有奇数项的和为1-2×（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=
分析：（Ⅰ）a₁=1，利用数列递推式，n=1时，a₂=a₁+1=；n=2时，a₃=a₂-4=；故可求a₂•a₃的值；
（Ⅱ）b₁=a₂-2=-，且===，故可得数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，从而可求其通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49），从而可求数列{a_n}前100项中所有奇数项的和．
点评：本题考查数列的递推式，考查等比数列的定义，考查数列的求和，解题的关键是构造新数列，属于中档题．