Question

【题目】已知函数 ．
（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵ ，∴f′（x）= ，
∴f′（0）=0，f（0）=1
∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（Ⅱ）证明：当x＜1时，由于 ＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；
同理，当x＞1时，f（x）＜0．
当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2 ．
当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．
下面证明：x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证 ＜ ．
此不等式等价于（1﹣x）ex﹣ ＜0．
令g（x）=（1﹣x）ex﹣ ，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1﹣x）ex﹣ ＜0．
∴x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．
而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．
从而，f（x1）＜f（﹣x2）．
由于x1 ， ﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴x1＜﹣x2 ， 即x1+x2＜0
【解析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），求出切线斜率，即可求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2 ． 由（Ⅰ）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1 ， ﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．