Question

已知直线y=x+m被椭圆4x²+y²=1截得的弦长为

2 2

5

，则m的值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将直线的方程y=x+m与椭圆的方程4x²+y²=1联立，借助于韦达定理，通过弦长公式，从而可求得m的值．

解答： 解：把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x²+（x+m）²=1
即：5x²+2mx+m²-1=0，
设该直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的两根，由韦达定理可得：x₁+x₂=-

2m

5

，x₁•x₂=

m2-1

5

，
∴|AB|=

1+12

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4m2 25 - 4m2-4 5

=

2 2

5

；
∴m=±

5

2

．
故答案为：±

5

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．