Question

已知点p是圆（x+1）²+y²=16上的动点，圆心为B．A（1，0）是圆内的定点；PA的中垂线交BP于点Q．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）若直线l交轨迹C于M，N（MN与x轴、y轴都不平行）两点，G为MN的中点，求K_MN•K_OG的值（O为坐标系原点）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|，由|QB|+|QP|=4，可得|QB|+|QA|=4，利用椭圆的定义可得点Q的轨迹是一个椭圆；
（2）法一：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则．代入可得，利用点差法可得．再利用斜率计算公式即可得出K_MN•K_OG的值；
法二：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直线MN的方程为y=kx+b（k≠0），则，
由于y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，利用斜率计算公式可得，将y=kx+b代入椭圆方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，利用根与系数的关系可得，代入得到，即可得出K_MN•K_OG的值．
解答：解：（1）由条件知：|QA|=|QP|，
∵|QB|+|QP|=4，
∴|QB|+|QA|=4，
∵|AB|=2＜4，
所以点Q的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，
∵2a=4，2c=2，∴b²=3，
所以点Q的轨迹C的方程是．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则．
∵直线l与椭圆相较于点M，N，
∴，
∴，可得．
∵，
∴．
另解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直线MN的方程为y=kx+b（k≠0），
则，
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，
∴，
将y=kx+b代入椭圆方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴，
∴，
所以．
点评：本题综合考查了圆与椭圆的定义及其标准方程、线段的垂直平分线、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线的斜率计算公式、点差法等基础知识与基本技能，考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力．