Question

2．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2^a_n+a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}公差为d≠0，由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．可得${a}_{3}^{2}={a}_{1}•{a}_{9}$，即（1+2d）²=1×（1+8d），d≠0．解出即可得出．
（2）b_n=2^a_n+a_n=2ⁿ+n．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}公差为d≠0，∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}•{a}_{9}$，
∴（1+2d）²=1×（1+8d），d≠0．
解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=2^a_n+a_n=2ⁿ+n．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．