Question

已知p：?x∈R，m＜x2+

1

x2

恒成立；q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q为真命题时的取值范围，然后利用若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

解答：解：因为x2+

1

x2

≥2

x2? 1 x2

=2，所以要使?x∈R，m＜x2+

1

x2

恒成立，则m＜2，即p：m＜2．
方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，则△=16（m-2）²-4×4＜0，即（m-2）²＜1，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．
若p真q假，则m≤1．
若p假q真，则2≤m＜3．
综上实数m的取值范围是m≤1或2≤m＜3．

点评：本题主要考查复合命题的真假与简单命题真假之间的关系，比较基础．