Question

5、方程x³-6x²+9x-4=0的实根的个数为（　　）

A、0

B、1

C、2

D、3

Answer 1

分析：由方程x³-6x²+9x-4=0的实根的个数，等于函数f（x）=x³-6x²+9x-4零点的个数，我们利用导数法求了函数f（x）=x³-6x²+9x-4的极值，分析后即可得到结论．

解答：解：令f（x）=x³-6x²+9x-4，
则f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）．
由f′（x）＞0得x＞3或x＜1，
由f′（x）＜0得1＜x＜3．
∴f（x）的单调增区间为（3，+∞），（-∞，1），单调减区间为（1，3），
∴f（x）在x=1处取极大值，在x=3处取极小值，
又∵f（1）=0，f（3）=-4＜0，
∴函数f（x）的图象与x轴有两个交点，
即方程x³-6x²+9x-4=0有两个实根．
故选C．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，根据方程根的个数与对应函数的零点个数相等，我们将问题转化为求函数f（x）=x³-6x²+9x-4零点的个数，是解答本题的关键．