Question

（2013•三门峡模拟）已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为

1

2

，F₁、F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C₁的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C₁上有两点P、Q，满足MF₂与

NF2

共线，

PF2

与

QF2

共线，且

PF2

•

MF2

=0，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：

2a=4 e= c a = 1 2

，由此能求出椭圆方程．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=1，由此能求出动圆圆心轨迹方程．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，从而四边形PMQN面积为8；设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），直线PQ的方程为y=

1

k

(x-1)，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由抛物线定义可知：|MN|=4+

4

k2

，由此求出S_PMQN=

24

3- 2 t - 1 t2

＞8，所以四边形PMQN面积的最小值为8．

解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：

2a=4 e= c a = 1 2

，
∴a=2，c=1，b=

4-1

=

3

，
∴所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，
且抛物线C的焦点为（1，0），
准线方程为x=1，则动圆圆心轨迹方程为C：y²=4x．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而SPMQN=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

×4×4=8，
设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=-

1

k

(x-1)，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由

y=k(x-1) y2=4x

，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由抛物线定义可知：
|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1
=

2k2+4

k2

+2=4+

4

k2

，
由

y= 1 k (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
从而|PQ|=

1+(- 1 k )2

|x3-x4|=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴S_PMQN=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

|MN|•|PQ|
=

1

2

(4+

4

k2

)•

12(1+k2)

3k2+4

=24•

(1+k2)2

3k4+4k2

，
令1+k²=t，∵k²＞0，则t＞1，
则S_PMQN=

24t2

3(t-1)2+4(t-1)

=

24t2

3t2-2t-1

=

24

3- 2 t - 1 t2

．
因为3-

2

t

-

1

t2

=4-（1+

1

t

）²∈（0，3），
所以S_PMQN=

24

3- 2 t - 1 t2

＞8，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．

点评：本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．