Question

4．已知函数f（x）=x²+2alnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，0得a＞-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，令g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$（x＞1），求出函数的单调区间，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$=$\frac{2{（x}^{2}+a）}{x}$，
由f′（1）=2+2a=0，解得：a=-1，
经检验a=-1时取极小值，
故a=-1；
（Ⅱ）由f（x）＞0，即x²+2alnx＞0，对任意x∈[1，+∞）恒成立，
（1）x=1时，有a∈R，
（2）x＞1时，x²+2alnx＞0得a＞-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，
令g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$（x＞1），得g′（x）=-$\frac{x（2lnx-1）}{{2ln}^{2}x}$，
若1＜x＜$\sqrt{e}$，则g′（x）＞0，若x＞$\sqrt{e}$，则g′（x）＜0，
得g（x）在（1，$\sqrt{e}$）递增，在（$\sqrt{e}$，+∞）递减，
故g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$（x＞1）的最大值是g（$\sqrt{e}$）=-e，
故a＞-e，
综上a＞-e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．