Question

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？

	非体育迷	体育迷	合计
男
女
合计

（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d为样本容量

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.0635

Answer 1

考点：独立性检验,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）利用频率分布直方图直接完成2×2列联表，通过计算K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，说明是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关．
（2）写出一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A={（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，事件A由7个基本事件组成，利用古典概型求解即可．

解答： 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，…（1分）
从而完成2×2列联表如下：

	非体育迷	体育迷	合计
男	30	15	45
女	45	10	55
合计	75	25	100

…（2分）
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k=

100×(30×10-45×15)2

75×25×45×55

=

100

33

≈3.030…（5分）
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关． …（6分）
（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”为5人，
从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}
其中a_i表示男性，i=1，2，3，b_j表示女性j=1，2．Ω由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A={（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}…（10分）
事件A由7个基本事件组成，因而P(A)=

7

10

．                  …（12分）

点评：本题考查独立性检验以及古典概型计算公式的应用，正确列出基本事件总数以及所求概率的事件总数是解题的关键，考查基本知识的应用．