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设f(x)是二次函数,且满足f(1-x)=f(x+1),f(1)=-3,f(0)=1,
(1)求f(x);
(2)作出|f(x)|的图象.
分析:(1)设f(x)=a•x2+bx+c (a≠0),由题意可得
-
b
2a
=1
a+b+c=-3
c=1
,解方程组求得a、b、c的值,从而得到f(x)的解析式.
(2)由(1)可得|f(x)|=
4•(x-1)2-3  ,  x<1-
3
2
 或x>1+
3
2
4-4•(x-1)2 ,1-
3
2
< x<1+
3
2
,由此画出|f(x)|的图象.
解答:解:(1)设f(x)=a•x2+bx+c (a≠0),则由f(1-x)=f(x+1)可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,再由f(1)=-3,f(0)=1可得
-
b
2a
=1
a+b+c=-3
c=1

解得
a=4
b=-8
c=1
,故 f(x)=4x2-8x+1.
(2)由(1)可得 f(x)=4x2-8x+1=4•(x-1)2-3,令f(x)=0可得 x=1±
3
2

故有|f(x)|=
4•(x-1)2-3  ,  x<1-
3
2
 或x>1+
3
2
4-4•(x-1)2 ,1-
3
2
< x<1+
3
2
,如图所示:
 
点评:本题主要考查二次函数的图象和性质,用待定系数法求函数的解析式,属于基础题.
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