Question

已知过点（0，1）的直线l与曲线C：y=x+

1

x

(x＞0)交于两个不同点M和N．求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹．

Answer 1

分析：设点M、N的坐标，然后设出直线l的方程，与曲线C联立方程组，求出k的取值范围，然后利用导数求出在点M、N处切线的斜率，从而求出切线方程，最后联立两切线方程，可求出交点轨迹．

解答：解：设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），曲线C在点M、N处的切线分别为l₁、l₂，
其交点P的坐标为（x_p，y_p）．若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1．
由方程组

y=x+ 1 x y=kx+1

，消去y，得x+

1

x

=kx+1，即（k-1）x²+x-1=0．
由题意知，该方程在（0，+∞）上有两个相异的实根x₁、x₂，故k≠1，且△=1+4（k-1）＞0…（1），x1+x2=

1

1-k

＞0…（2），x1x2=

1

1-k

＞0…（3），
由此解得

3

4

＜k＜1．对y=x+

1

x

求导，得y′=1-

1

x2

，
则y′|x=x1=1-

1

x 2 1

，y′|x=x2=1-

1

x 2 2

，于是直线l₁的方程为y-y1=(1-

1

x 2 1

)(x-x1)，
即y-(x1+

1

x1

)=(1-

1

x 2 1

)(x-x1)，化简后得到直线l₁的方程为y=(1-

1

x 2 1

)x+

2

x1

…（4）．
同理可求得直线l₂的方程为y=(1-

1

x 2 2

)x+

2

x2

…（5）．
（4）-（5）得(

1

x 2 2

-

1

x 2 1

)xp+

2

x1

-

2

x2

=0，
因为x₁≠x₂，故有xp=

2x1x2

x1+x2

…（6）．将（2）（3）两式代入（6）式得x_p=2．
（4）+（5）得2yp=(2-(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

))xp+2(

1

x1

+

1

x2

)…（7），
其中

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=1，

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

x 2 1 + x 2 2

x 2 1 x 2 2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x 2 1 x 2 2

=(

x1+x2

x1x2

)2-

2

x1x2

=1-2(1-k)=2k-1，
代入（7）式得2y_p=（3-2k）x_p+2，而x_p=2，得y_p=4-2k．
又由

3

4

＜k＜1得2＜yp＜

5

2

，即点P的轨迹为（2，2），（2，2.5）两点间的线段（不含端点）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及轨迹问题，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．